a

Metamatematika

N. S. Hellerstein

Hellerstein, N. S.: Metamatematika. In: Ostium, roč. 1, 2005, č. 1.

Gödelovské kvantá (cez quinovanie) [2]

Meta–logika

Dialektika

Dialektická dilema

A. Gödelovskékvantá

Diamantová logika sa objavuje v Gödelovskejmeta–matematike. V meta–matematike môžu vety navzájom odkazovať na svoju dokázateľnosť a môžu quinovať. To vedie k sebevzťažnosti:

T = „‚je dokázateľné, ak je quinované‘ je dokázateľné, ak je quinované.“

D = „‚je nedokázateľné, ak je quinované‘ je nedokázateľné, ak je quinované.“

S = „‚je vyvrátiteľné, ak je quinované‘ je vyvrátiteľné, ak je quinované.“

P = „‚je nevyvrátiteľné, ak je quinované‘ je nevyvrátiteľné, ak je quinované.“ [3]

Toto sú sebevzťažné „logické kvantá“:

T = dok T = „sebe–dôverujúce“ tvrdenie

D = not dok D = „seba–spochybňujúce“ tvrdenie

S = dok not S = „seba–zahanbujúce“ tvrdenie

P =  mož P = „na–seba–pyšné“ tvrdenie

pričom dok = dokázateľné a mož = možné

T deklaruje samo seba ako také, ktorému by sa malo veriť; „samo sebe dôveruje“. D deklaruje samo seba ako také, ktorému by sa veriť nemalo; „spochybňuje samo seba“. S deklaruje samo seba ako vyvrátiteľné; „samo za seba sa hanbí“. P deklaruje samo seba ako nevyvrátiteľné; je „pyšné samo na seba“.

Podľa Gödela výroky D a S sú komplementárne nerozhodnuteľné, korešpondujúce s paradoxnými hodnotami I a J:

Logika je konzistentná vtedy a len vtedy ak

D je pravdivé, ale nedokázateľné a S je nepravdivé, ale nevyvrátiteľné.

Logika je nekonzistentná vtedy a len vtedy ak

D je nepravdivé, ale dokázateľné a S je pravdivé, ale vyvrátiteľné.

Podľa Löba T je dokázateľne pravdivé a P je dokázateľne nepravdivé; to korešponduje s binárnymipravdivostnými hodnotami T a F ( T = true = pravda, F = false = nepravda). Toto je dôsledok gödelovskýchparadoxov, ktoré spôsobujú, že konzistentnosť žiadnej konzistentnej logiky nie je dokázateľná; a tvrdenie P tak upadá do klamstva.

Dostali sme tieto rovnice:

d = mož T; s = dok F; p = F; t = T.

d = not dok d = mož not d = mož s = mož T = not dok F

s = not mož s = dok not s = dok d = dok F = not mož T

p = mož p = not dok not p = not dok t = mož F = F

t = dok t = not mož not t = not mož p = dok T = T

B. Meta–logika[4]

Hanba k nám prichádza dávajúc najavo svoju vlastnú nesprávnosť; samu seba nazýva klamárkou. Ak je logika platná, tak Hanba sa mýli, ale nemôžete si byť istí. Hanba obžalúva samu seba; a kto sme my, aby sme jej protirečili? Ale zase: kto sme, aby sme jej verili? Skutočne je najlepšie o nej pochybovať!

Obžalovať Hanbu by znamenalo podieľať sa na Hanbe; prečo si však robiť starosti? Ale ak pripustíme Hanbu, potom je všetko v poriadku! Prijať možnosť seba–zahanbenia nie je seba–zahanbujúce, ale seba–spochybňujúce. Aký div!

Hanba je naozaj nevyvrátiteľná napriek sebe samej. Preto nech je Hanba! Nehanebne dovoľte Hanbe existovať! Prijmite jej možnosť; a tak ju zažeňte!

Pochybnosť k nám prichádza tak, že sama seba zotázňuje; samu seba nazýva bláznivou. Predsa však má pravdu, ak je všetko v poriadku. Prichádza k nám spochybňujúc svoj vlastný zdravý rozum; ak je ale logika platná, je čestná, i keď je pochybná. Hovorí o dive a o zázraku, čiže o sebe, a skutočne je najlepšie čudovať sa takej reči.

Neverte pochybnosti! Nedôverujte pochybnosti! Pretože viera v seba–pochybovanie nie je seba–pochybovaním, ale seba–popieraním. Aká hanba!

Takže pochybnosť je naozaj pochybná! Pochybujte o pochybnosti!

Ale snáď je predsa nejakým spôsobom pravdivá. Dokonca aj Pochybnosť je možná.

Pýcha k nám prichádza chváliac sa úžasným matematickým modelom, ktorý vlastní. Ale to je chyba! Vyhlasuje, že nikdy nebude vyvrátená; práve tým sa však sama vyvracia. Pýcha je len ilúziou.

Všetky fantázie vyhlasujú svoju existenciu; a naozaj sú uskutočniteľné – na papieri. V teórii sú praktické, ale v praxi sú teoretické. Pýcha je práve takouto fantáziou. Pýcha sa nemôže mýliť; a to je jej fatálny omyl.

Gödelova druhá veta o neúplnosti opisuje naozajstnú kozmickú katastrofu; pretože destabilizuje samotnú Stabilitu. Existuje seba–spochybnenie, rovnako ako seba–dôvera a seba–zahanbenie, ale seba–vytvorenie nie. Absolútna existencia neexistuje.

Beda! Pýcha ovláda trhy, cirkvi, štáty a ríše! Všetky civilizácie sa zapredali za falošné sľuby Pýchy o absolútnej existencii! Pýcha sa chvasce svojou istotou, rozvážnosťou, bezpečnosťou, neomylnosťou,nezraniteľnosťou a samozrejme nesmrteľnosťou. Ale mýli sa!

Dôvera k nám prichádza dávajúc najavo implicitné potvrdenie svojej správnosti. Dôvera verí v Dôveru; a to je správne!

Prečo? Nie preto, čo hovorí, ale preto, čo nehovorí: lebo Dôvera vlastne nehovorí vôbec nič. Je deduktívne prázdna. Ak veríte Dôvere, tak veríte Dôvere, tak je to. Dôvera je tautologická, teda bez akýchkoľvek informácií, nedokazuje nič, čo by už nebolo predtým dokázateľné.

Dôvera je márnivosťou. Dôvera je bez obsahu, preto je pravdivá. Dôvera môže lietať, lebo samu seba berie naľahko. Pôsobí podľa Zákona Ľahkovážnosti:

Bubliny stúpajú.

Čo existuje?

Inými slovami, čo je vytvoriteľné?

Čo sa nedá vyvrátiť?

Čo je možné?

Pýcha sa deklaruje ako možná, ale to sa jej vracia, pretože ostatné tri kvantá sú rovnako možné:

mož d = mož s = mož t = d.

mož s = d; možno je logika absurdná. Možno je všetko nemožné. Možno nič neexistuje! Pochybujem o tom, ale tak či onak samotná možnosť, že nič neexistuje, rozhodne existuje. Osobne si myslím, že by to bola hrozná škoda, keby nič neexistovalo, ale na druhej strane považujem za úžasné, že možno nič neexistuje.

mož t = d; možno je dôvera možná. Možno existuje viera v seba. Možno existuje nutnosť. Fakticky to považujem za veľmi mierne vyjadrenie. Nutnosť nielen existuje, nutnosť je nutná. Domýšľavosť je viac než len možná, je univerzálna.

mož d = d; možno je pochybnosť možná. Možno sa stáva neočakávané. Možno je chaos. Možno existujú zázraky.

A tak sa existencia, ak aj nie je priamo vyvrátiteľná, redukuje na Pochybnosť. Čo opravdivo existuje, existuje teda v stave divu, paradoxu; doslova až za vierou. V krátkosti, zázrak.

Tvrdenie Pochybnosti je metamatematická metafora pre sebaorganizujúci, seba–propagujúci systém; jeho vzťahový zvrat k sebe samému ho uschopňuje prekročiť rovnováhu. Tvrdenie Pochybnosti znázorňuje organický proces, ktorého vlastná energia nie je udržateľná v žiadnej zafixovanej, stabilnej forme. Jeho paradoxy v každej fáze zabraňujú uzavretiu. Pochybnosť je nestabilná a nespoľahlivá, ale práve z tohto dôvodu je nevyvrátiteľná. Reprezentuje Chaos, prirodzenú anarchiu, ktorá existuje, nech sa robí čokoľvek. Anarchia prírody podkopáva všetky energetické sústavy, ľubovoľné pravidlá kolabujú, zostávajú len tie, ktoré sú skutočne nevyhnutné. Tak Prirodzená Anarchia plodí Prirodzený Zákon, poriadok sa vynára z chaosu.

Pretože Pochybnosť existuje, je opodstatnená Dôvera; v hybnej sile paradoxu majú pôvod univerzálne práva.

Teda kozmos je vytvorený chaosom.

Teraz prejdime k ešte čudnejšej otázke:

Existujem?

Aká nebezpečná otázka! Kvôli nej som chytený do pasce matematickej chyby bez ohľadu na to, či odpoviem áno alebo nie.

Keby som poprel, že existujem, nebolo by to seba–popieranie? Aká hanba! Ale ešte horšie, ak potvrdím, že existujem, potom by moje potvrdenie vyhlasovalo vlastnú existenciu, a to by bolo naozaj niečo, na čo môžem byť pyšný.

Veď zvážme: dajme tomu, že by som dokázal, že existujem; a predpokladajme, že ľudia náležite zapísali môj dôkaz; a ďalej predpokladajme, že nejaký bádateľ prišiel o storočie neskôr, aby skontroloval môj dôkaz. Bol by stále platný?

A tak nemôžem dokázať, že existujem. Moja existencia je skutočne nedokázateľná; a naozaj, je skôr nepravdepodobná. Keď uvažujem o faktoch mojej existencie, uvedomujem si, že som tou najnepravdepodobnejšou osobou. Fakt, že existujem, môžem označiť len ako div, niečo úžasné, tajomstvo a zázrak, úplne za vierou! A to isté platí aj o Vás, drahý čitateľ (drahá čitateľka), pretože pochybujem, že Vaša existencia je významnejšia než moja.

Existujem? Pochybujem! Tak neklaďte túto otázku. Skutočná otázka nie je tá, či existujem, (pochybná eventualita), ale iná – či som nutný. A moja odpoveď na túto otázku je ‚áno‘. S potešením tvrdím, že – prinajmenšom pre seba – som absolútne nutný!

Znie to samoľúbo? Samozrejme, pretože také to je! Taká je samoľúbosť viery. Avšak práve táto samoľúbosť ju robí univerzálnou; veď nepovažujete sa, milý čitateľ (milá čitateľka), za absolútne nutného (nutnú) – prinajmenšom pre seba? Či nemáte implicitnú dôveru v seba?

Nech je požehnaná samoľúbosť viery!

P o z n á m k y

Text je prekladom 12. kapitoly knihy o logike paradoxov (údaje o nej sú uvedené na konci). V knihe je táto logika podrobne rozpracovaná po formálnej stránke, teda ako určitý typ logického kalkulu. Ide o neklasickú, štvorhodnotovú logiku. Ponúka zaujímavé pohľady na klasické logické paradoxy. Táto kapitola pojednáva o tradičnom probléme sebevzťažnosti a veľmi zaujímavým a inšpiratívnym spôsobom ho dáva do súvislosti so základnými ľudskými postojmi, ktoré sa tak ukazujú tiež ako sebevzťažné.

[2] „quine“ je v angličtine novotvar, sloveso odvodené z mena amerického logika Qiuna, ktorý formuloval jeden z logických paradoxov. V ňom „quinovať“ znamená takú procedúru, v ktorej fragmente vety predchádza jej vlastná citácia. Napríklad quinovať fragment „je pravdivé, ak je quinované“ vedie k vete: „Je pravdivé, ak je quinované“ je pravdivé, ak je quinované. Takáto veta je ekvivalentná s vetou: „Toto tvrdenie je pravdivé“ alebo: „Ja som pravdivé tvrdenie“ (pozn. prekl.).

[3] Podľa predchádzajúcej poznámky sa uvedené výroky dajú prepísať takto:

T = dá sa dokázať moja pravdivosť

D = nedá sa dokázať moja pravdivosť

S = dá sa dokázať moja nepravdivosť

P =  nedá sa dokázať moja nepravdivosť (pozn. prekl.).

[4] Celá kapitola, ale najmä jej nasledujúca časť ma inšpirovali k napísaniu článku „Paradoxnosť niektorých základných postojov človeka“, ktorý som predniesol na konferencii v Prešove a je publikovaný v zborníku: Andreanský, E. (ed.): Filozofia a život – život filozofie. IRIS, SFZ pri SAV & Katedra filozofie FF PU v Prešove, Prešov 2004, s. 116–121 (zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou konanej v rámci 6. výročného stretnutia SFZ, Prešov, 16.–18. 9. 2004; pozn. prekl.).

Z knihy Hellerstein, N. S.: Diamond. A Paradox Logic. World Scientific, Singapore – New Jersey – London – Hong Kong 1997, s. 183 – 189, preložil Reginald A. Slavkovský.