k

Quinov otáznik

Roy Sorensen

Logika naháňa pravdu hore stromom gramatiky.

(W. V. Quine)[1]

Willard Van Orman Quine sa narodil v Akrone v Ohiu na „anti-Vianoce“ 25. júna 1908. Zomrel na Vianoce roku 2000. Svoju celoživotnú príslušnosť k Harvardskej univerzite začal Quine napísaním dizertačnej práce o diele Principia Mathematica pod vedením Alfreda Northa Whiteheada. Hoci Quine prispel k rozvoju vedy o počítačoch, naďalej používal svoj písací stroj Remington z roku 1927. Ako logik „ho podrobil operácii“ a zmenil niekoľko klávesov, aby obsahoval aj špeciálne symboly. „Zistil som, že sa zaobídem bez druhej bodky, druhej čiarky – a bez otáznika.“ Reportér sa ho opýtal: „A ten otáznik vám nechýba?“, na čo Quine odpovedal: „Nuž, viete, ja sa zaoberám istotami.“

Myslím si, že paradoxy sú rébusy, ktoré preťažujú publikum dobrými odpoveďami. A keďže rébus nadobúda podobu otázky, pochybujem, že Quinov upravený písací stroj môže plynule formulovať paradoxy. Avšak práve Quine je zodpovedný za najvplyvnejšiu definíciu „paradoxu“.

Carterov argument konca sveta

Prvý zmysel „paradoxu“ uvedený v Oxfordskom slovníku angličtiny je: „Tvrdenie alebo presvedčenie v rozpore s prijatým názorom či očakávaním.“ Quine si myslí, že táto definícia prehliada ústrednú úlohu argumentu. V „Cestách paradoxu“ rozvíja myšlienku, že „paradox je jednoducho akýkoľvek záver, ktorý spočiatku znie absurdne, ale má argument, ktorý ho udržuje.“ [2] Presvedčenie ohlasovateľa konca sveta „Koniec sa blíži!“ je „presvedčením v rozpore s prijatým názorom.“ Paradoxom je však len vtedy, keď je podopreté dobrým argumentom.

Práve takýto argument prekvapujúco vyvstal z interakcie medzi vedou a filozofiou podnietenou práve Quinom. Kozmológ Brandon Carter [3] poznamenáva, že pri absencii akéhokoľvek dôkazu, že som výnimočný, by som o sebe mal uvažovať tak, že sa nachádzam v rovnakom úseku dejín ako priemerný človek. Keďže populácia rastie exponenciálne, väčšina ľudí sa narodila len nedávno. A preto by som mal pripísať prekvapujúco vysokú pravdepodobnosť hypotéze, že píšem ku koncu ľudských dejín.

„Udržuje“ Carterov argument tento prekvapujúci záver? Filozof John Leslie bráni Carterov argument celou jednou knihou. V Konci sveta Leslie tvrdí, že argument konca sveta nám dáva extra dôvod reagovať na hrozby zániku ľudstva.

Zvykol som si myslieť, že argument konca sveta sa dopúšťa klamu, ktorý dokážem diagnostikovať za nedeľné popoludnie. Po každom zjavnom vyvrátení argumentu však nasledovala odpoveď, ktorá ho ponechala v podstate neporušený. Po mesiaci nedieľ si húževnatý argument konca sveta zaslúžil môj zdráhavý rešpekt (hoci nie súhlas). Myslím si, že Quine naráža práve na túto zdatnosť, keď hovorí o argumente udržujúcom prekvapujúci záver.

Rýdze a klamlivé paradoxy

Ako si možno domyslieť z pozitívnych asociácií „udržiavania“, Quine verí, že niektoré paradoxné argumenty majú pravdivé závery. Jeho ilustrácia rýdzeho paradoxu je prevzatá z Pirátov z Penzance [4]. Protagonista Frederic má 21 rokov, a napriek tomu mal narodeniny len päťkrát. Hoci sa to javí ako protirečenie, pochopíme, že to musí byť pravda, keď nás informujú, že Frederic sa narodil 29. februára. Priestupné roky umožňujú, že niekto má 4n rokov na n-té narodeniny. Quine vykresľuje rýdze paradoxy ako línie úvah, ktoré sú nakoniec potvrdené.

Quine to nemyslí tak, že všetky udržujúce argumenty sú zdravé [5], lebo mnohé paradoxy sú podľa neho nepravdivými závermi. Nazýva ich „klamlivými paradoxmi“. Quine si takisto nemyslí, že udržujúci argument musí byť deduktívne platný. Všetky udržujúce argumenty pre klamlivé paradoxy sú totiž podľa neho mylné.

Quine si myslí, že antinómie sa líšia produkovaním „sebaprotirečení akceptovanými postupmi úvah.“ [6]Spomeňte si na Russellovu antinómiu o množine, ktorá obsahuje všetky a iba tie množiny, ktoré neobsahujú samy seba. Je táto množina prvkom seba samej? Podľa Quina tento paradox „preukazuje, že niektoré nevyslovené a dôveryhodné vzorce úvah musíme vyjadriť explicitne a odteraz sa im vyhýbať alebo ich revidovať.“ Odporúča, aby sme túto antinómiu „inaktivovali“ tým, že si osvojíme gramatické pravidlá, ktoré zabránia jej formulovaniu. Tento navrhovaný zákaz rozširuje na sémantické paradoxy, akým je paradox klamára, a to tým, že žiada, aby bolo všetko použitie „pravdivého“ relativizované ako vzťahujúce sa k jazyku. „Porušenia tohto obmedzenia by sa považovali skôr za vety nezmyselné alebo negramatické ako za pravdivé či nepravdivé.“ [7] Quine pripúšťa, že zákaz vypovedania jednoduchej „pravdy“ sa nám môže javiť ako represia. Predpovedá však, že pocit umelosti časom pominie a sebavzťažné antinómie sa stanú klamlivými paradoxmi. Teoretici množín si budú myslieť, že Russellova antinómia sa dopúšťa klamu rovnako, ako si teraz matematici myslia, že paradox Zenónovej bisekcie je jednoducho nesprávnym použitím konceptu konvergentného radu.

Ale ešte vydržte, profesor Quine! Nemali mať klamlivé paradoxy nepravdivé závery? Ak sú koncové body Russellovej antinómie nezmyselné, potom nemôžu byť nepravdivé; a nemôžu byť dokonca ani závermi, ktoré sú udržiavané argumentmi. Všetky závery sú predsa zmysluplné tvrdenia. Quinova definícia by preto implikovala, že antinómie sebavzťažnosti nie sú skutočnými paradoxmi.

Spomeňte si, že Jean Buridan skúmal závislé paradoxy klamára: Pán Rovný tvrdí: „To, čo teraz povie pán Krivý, je pravda“ a pán Krivý povie: „To, čo povedal Rovný, nie je pravda.“ Keby Krivý povedal: „Quine navštívil 118 krajín“, obe tvrdenia by boli pravdivé. Ak je paradox klamára nezmyselný (a verím, že to Quine tvrdil správne), potom závislé paradoxy klamára ukazujú, že nezmyselnosť je niekedy pre hovoriaceho nezistiteľná. Vnútorná racionalita hovoriaceho nestačí na to, aby zaručila, že jeho vyjadrenia sú zmysluplné.

Keby museli byť všetky udržujúce argumenty deduktívne platné, potom by neboli žiadne induktívneparadoxy. Quine však musí pripustiť, že existujú paradoxy, v ktorých prekvapujúci záver len vzbudzuje zdanie, že je pravdepodobný. Uvažujme o nasledujúcom príklade narodeninového paradoxu. Profesor Štatistika z premisy, že v triede je štyridsať študentov, predpovedá, že dvaja z jeho študentov majú spoločný dátum narodenia. Profesorov záver sa spočiatku zdá byť len unáhlený. Paradox sa vynorí vtedy, keď profesor Štatistika prezradí svoje zdôvodnenie: „Premisa ‚je tu štyridsať študentov‘ dáva môjmu záveru pravdepodobnosť 89,1 percenta. Aby ste pochopili prečo, predstavte si kalendár s 365 dňami. Zaznačte svoj dátum narodenia. Nech teraz svoj dátum narodenia zaznačí aj druhý študent. Má pravdepodobnosť 364/365, že zaznačí prázdny deň. Tretia osoba, ktorá do kalendára zaznačí svoj dátum narodenia, má šancu 363/365, že zaznačí prázdny deň. Šanca, že N ľuďom sa podarí zaznačiť prázdny deň, je (365 x (365 – 1) x (365 – 2)… x (365 – (N – 1)))/(365N). Takže keď máme 23 ľudí, šanca, že majú spoločný dátum narodenia, je 50,7 percenta. Keď sa N = 40, zo vzorca vyplýva, že pravdepodobnosť spoločného dátumu narodenia je 89,1 percenta.“

Keď už sme prešli týmto všetkým, ďalej predpokladajme, že profesor Štatistika nemal šťastie: žiadni dvaja zo 40 študentov nemajú spoločný dátum narodenia. Jeho paradoxná predpoveď sa ukáže byť nepravdivá aj napriek tomu, že bola podopretá pravdivou premisou a primeraným pravidlom odvodzovania.

To, čo robí profesorovu predpoveď paradoxnou, je zdôvodnenie, ktoré za ňou stojí. Toto zdôvodnenie totiž vôbec nemusí byť dokonalé. Tak ako väčšina ľudí, ktorí nás zásobujú narodeninovým paradoxom, profesor Štatistika prešiel bez povšimnutia fakt, že niektoré roky majú viac ako 365 dní. Takisto neberie do úvahy cestujúcich, ktorí o svoje narodeniny prišli pri prechode medzinárodnou dátumovou hranicou. (Starý človek tak môže zomrieť bez toho, aby mal vôbec nejaké narodeniny.) Paradox prežíva preto, lebo tieto opomenutia sú zanedbateľné.

Mohli by sme sa pokúsiť nasilu vtlačiť každú paradoxnú indukciu do deduktívnej formy tým, že s ňou budeme nakladať ako s entymémou (úsudkom so zamlčanou premisou alebo záverom). Každá indukcia by mala nevyslovenú premisu: „Ak sú uvedené premisy pravdivé, záver je potom pravdivý.“ Tento trik robívšetky indukcie, dobré aj zlé, deduktívne platnými. Otázky o zdôvodnení sa menia na otázky o pravde tejto postulovanej podmienky. Tento manéver však nerieši obmedzenosť čisto deduktívnej definície „paradoxu“. Zvážme totiž pôvodné induktívne argumenty, s ktorými nenakladáme ako so zamaskovanými dedukciami. Všetky z nich zostávajú paradoxné.

Nový rébus indukcie

Formulácie induktívnych paradoxov majú väčšiu šancu, že zastarajú. Platný deduktívny argument zostáva platným, aj keď sa objavia akékoľvek nové informácie. Pridanie nových premís má však vplyv na presvedčivosť induktívneho zdôvodnenia. Kniha Voľba a náhoda Briana Skyrmsa ma poučila o „novom rébuse indukcie“ Nelsona Goodmana (1906-1998). Skyrms referuje, ako John Stuart Mill zaviedol formálne štúdium indukcie kodifikovaním takého druhu vzorcov odvodzovania, ktoré majú radi experimentátori. Tak ako Aristoteles kodifikoval argumentačné vzorce, ktoré zaručujú deduktívnu platnosť, Mill hľadá argumentačné vzorce, ktoré robia záver pravdepodobným vzhľadom na premisy. Tu je jednoduchý príklad: „Všetky minulé F-ká sú G-čka, a preto ďalšie F-ko bude G-čko.“ Goodman v roku 1946 publikoval námietku voči celému podniku induktívnej logiky. Jeho námietka pritiahla len skromnú pozornosť. V roku 1954 ponúkol svoju myšlienku v novom balení. Goodmanova nová prezentácia si požičala termín „zeldromolený“ [8] z románu Jamesa Joyca Finneganovo prebúdzanie. V Skyrmsovej formulácii „zeldrý“ znamená „zelený a pozorovaný pred rokom 2000 alebo modrý a pozorovaný počas alebo po roku 2000“. Predpokladajme, že všetky preskúmané smaragdy pred rokom 2000 sú zelené. Čo by mal v roku 2000 očakávať ten, kto používa termín „zeldrý“? Vzhľadom na pravidlo „Všetky minulé F-ká sú G-čka, a preto ďalšie F-ko bude G-čko,“ by mal predpovedať, že ďalší pozorovaný smaragd bude zeldrý. To znamená, že ten, kto používa slovo „zeldrý“, predpovedá, že smaragd bude modrý! Goodmanov rébus je induktívnou antinómiou:

Téza o zelenej farbe

Antitéza o zeldrej farbe

Všetky smaragdy pred rokom 2000

boli zelené.

Všetky smaragdy pred rokom 2000

boli zeldré.

Takže smaragd videný v roku 2000

bude zelený.

Takže smaragd videný v roku 2000

bude zeldrý.

Opačné predpovede majú tú istú schému úsudku a sú založené na rovnakých údajoch.

Mojou prvou myšlienkou bolo, že téza o zeldrej farbe odoláva preto, lebo „zelený“ je základnejší predikát. Koniec koncov zelená bola použitá na definovanie zeldrej. Goodman ale poukazuje na to, že zelenú možno definovať termínmi zeldrá a molená. Nech „molený“ znamená „zelený a pozorovaný pred rokom 2000 alebo modrý a pozorovaný počas alebo po roku 2000“. Goodman potom môže „zelenú“ definovať ako „zeldrú a pozorovanú pred rokom 2000 alebo molenú a pozorovanú niekedy potom“.

Mojou druhou myšlienkou bolo, že téza o zelenej farbe odoláva preto, lebo si nevyžadovala zmenu v behu prírody. Spolužiak však namietol, že zmena je relatívna. Z perspektívy tých, ktorí používajú slovo zeldrý, som to bol práve ja, kto v roku 2000 postuloval akúsi tajomnú diskontinuitu. Tí, ktorí používajú slovo zeldrý očakávali, že zeldré veci zostanú zeldré.

Keďže ma tým utíšil, rozhodol som sa, že si na túto antinómiu počkám. Keby v roku 2000 zmodrela tráva a ozeleneli by modré zvončeky, opustil by som stranu zelených. Keby však rok 2000 dopadol podľa mojich očakávaní, antitézu by som považoval za porazenú.

Moja trpezlivosť mi dala za pravdu. Takéto zrušenie antitézy je však len zanedbateľným naštrbením argumentu udržujúceho nový rébus indukcie. Antitéza je aj naďalej dobrým argumentom, a to napriek tomu, že viem, že jej záver je nepravdivý. Hodnota indukcie spočíva v jej procese zdôvodňovania, nie v jej produkte. Technika konštruovania predikátov „typu zeldrý“ sa ľahko modifikuje na argumenty, na ktoré stratégia trpezlivosti nestačí. A skutočne, Goodman vo svojej „definícii“ zeldrej vlastne nikdy nešpecifikuje rok 2000. Poskytuje iba definičnú schému, ktorá používa časovú premennú x.

Quine ponúka diagnózu Goodmanovho paradoxu: indukcia funguje len pre predikáty, ktoré zodpovedajú prirodzeným druhom. Aristoteles veril, že práve tak ako mäsiar krája pri kĺboch, vedec klasifikuje v súlade s predtým existujúcimi deleniami. V protiklade k čisto konvenčnému pohľadu na jazyk si Aristoteles myslel, že časť nášho slovníka sa vzťahuje na tieto prirodzené druhy. Quine si myslí, že je to presvedčivé najmä vo svetle evolučnej teórie. Myslitelia, ktorí triedia predmety do kategórií zodpovedajúcich prirodzeným hraniciam, zožnú väčší reprodukčný úspech. Ich predikčný úspech je umelo zväčšený vedeckým skúmaním. Súčasťou vedeckého pokroku je vypracovávanie slovníka, ktorý sa presnejšie zhoduje s prirodzenými deleniami. Inštinktívne uprednostňujeme „zelenú“ pred „zeldrou“, pretože „zelená“ má bližšie ku krájaniu prírody pri kĺbe.

Quine hovorí, že jeho riešenie rieši aj paradox krkavca pochádzajúci od Carla Hempela (1945). Hempel poznamenáva, že pozorovanie čierneho krkavca je istým dôkazom v prospech tvrdenia „Všetky krkavce sú čierne.“ Potvrdzuje však aj pozorovanie bielej vreckovky tvrdenie „Všetky krkavce sú čierne“? Nuž tu je prípad pre ornitológiu od písacieho stola:

1. Nicodovo kritérium: Univerzálne zovšeobecnenie „VšetkyF-ká sú G-čka“ je potvrdené tým, že „x je F-ko a G-čko“.

2.  Podmienka ekvivalencie: Čokoľvek potvrdzuje nejaké tvrdenie, potvrdzuje aj logicky ekvivalentné tvrdenie.

3.  Preto biela vreckovka potvrdzuje tvrdenie „Všetky krkavce sú čierne.“

Tvrdenie „Všetky krkavce sú čierne“ je ekvivalentné s tvrdením „Všetky nečierne veci sú nekrkavce.“ Z Nicodovho kritéria vyplýva, že tvrdenie „Toto je krkavec a je čierny“ potvrdzuje tvrdenie „Všetky krkavce sú čierne.“ A vyplýva z neho aj to, že biela vreckovka potvrdzuje tvrdenie „Všetky nečierne veci sú nekrkavce [9].“ Takže podľa podmienky ekvivalencie musí biela vreckovka potvrdzovať aj tvrdenie „Všetky havrany sú čierne.“

Quine odmieta Nicodovo kritérium. Potvrdenie obmedzuje na hypotézy, ktoré pracujú s termínmi prirodzených druhov. Preto popiera, že biela vreckovka potvrdzuje „Všetky nečierne veci sú nekrkavce.“

Rozlíšenie na analytické a syntetické

Filozofický lexikón Daniela Dennetta definuje slovo „quinovať“ [10] ako sloveso: „Rozhodne popierať existenciu dôležitosti niečoho reálneho alebo význačného.“ Quine quinoval mená, úmysly a rozdiel medzi psychológiou a epistemológiou. V roku 1951 quinoval rozlíšenie medzi analytickými a syntetickými tvrdeniami. Analytické tvrdenie za svoju pravdivostnú hodnotu vďačí významom svojich slov. Napríklad vetu „Po väčšinu dní v roku môžeš dostať dar na nenarodeniny“ robí pravdivou Hupky-Dupkyho definícia daru na nenarodeniny v knihe Lewisa Carrolla Za zrkadlom [11]. Naproti tomu syntetické tvrdenia za svoju pravdivostnú hodnotu vďačia svetu. Tvrdenie „Asi deväť miliónov ľudí má s vami spoločný dátum narodenia“ robí pravdivým súčasná populácia a zákon pravdepodobnosti. Rozlíšenie na analytické a syntetické po prvý raz explicitne vytýčil Kant. Filozofi ho takmer všeobecne akceptovali až do Quinovho článku „Dve dogmy empirizmu“. Toto rozlíšenie urobil kontroverzným tak, že sa podrobne zaoberal nejasnosťami hranice medzi tým, čo robí pravdivým význam, a tým, čo robia pravdivým náhodné fakty.

Niektorí čitatelia môžu mať podozrenie, že moja rébusová teória paradoxov quinuje Quinovo rozlíšenie na rýdze a klamlivé paradoxy. Ak sú paradoxy otázkami, nemôžu byť pravdivé či nepravdivé. Nemožno ich dokázať alebo vyvrátiť. Koniec koncov rébusom nemožno ani veriť, ani neveriť. Jediným priamym druhom absurdnosti, ktorý tieto rébusy vykazujú, je ich nadbytok dobrých odpovedí. Pamätajte však na to, že podľa môjho vysvetlenia založeného na otázkach, odpovede na paradoxy môžu byť pravdivé alebo nepravdivé.

Z Quinovej definície paradoxu vyplýva, že kdekoľvek je paradox, tam je aj argument pre absurdný záver. Nasledujúce dve časti predstavujú protipríklady ku Quinovej implikácii, že všetky paradoxy sú absurdnosti.

Radikálny preklad

Po tom, ako Spojené štáty vstúpili do druhej svetovej vojny, Quine opustil spoločenstvo na Harvarde, aby sa stal dešifrátorom kódov v námorníctve. Zaujal ho problém prekladu za nepriaznivých okolností. Uvažujme o bádateľoch, ktorí museli komunikovať s domorodcami:

Na objavnej ceste do Austrálie skupina námorníkov kapitána Cooka polapila mladú kenguru a priniesla tohto zvláštneho tvora na palubu svojej lode. Nikto nevedel, čo to je, takže poslali niekoľkých mužov na breh, aby sa opýtali domorodých obyvateľov. Keď sa námorníci vrátili, povedali svojim druhom: „Je to kengura.“ O mnoho rokov neskôr sa zistilo, že keď domorodci povedali „kengura“, tak v skutočnosti nepomenovávali dané zviera, ale odpovedali tým, čo sa ich pýtali, vetou: „Čo ste to povedali?“

(Príloha magazínu The Observer, 25. november 1973)

Aj keby boli neautentické, anekdoty o zásadne nesprávnych prekladoch vzbudzujú otázku, či vôbec môžeme nejako vedieť, že preklad je správny. Keby bol nesprávny preklad dostatočne systematický, ani veľa reči alebo konania by chybu neodhalilo.

Quine túto skeptickú výzvu spája do sémantického paradoxu. [12] Predpokladajme, že antropológ uvidí okolo prebehnúť králika a domorodý obyvateľ povie“ „Gavagai!“ Toto vyjadrenie možno preložiť ako (a) Aha, králik; (b) Aha, neoddelená časť králika; (c) Aha, konkretizácia univerzálnej králikovitosti [13]; (d) Aha, dočasné štádium králika. Antropológ si slobodne môže vybrať čokoľvek od (a) po (d), pokiaľ vykoná úpravy niekde inde vo svojom prekladovom manuáli. Quine zastáva názor, že existuje nekonečne veľa prekladových manuálov, ktoré vysvetľujú celú reč a správanie domorodých obyvateľov.

Má skeptik pravdu v tom, že nepoznáme správny preklad? Nie tak celkom, hovorí Quine. Myslí si, že keď neexistuje žiadny možný empirický rozdiel medzi manuálmi, otázka správnosti nevyvstane. Ak sa o hypotézach nerozhoduje predovšetkým na základe údajov, stávajú sa neurčitými.

Táto neurčitosť prekladu sa rozširuje aj na problém interpretácie sveta. Existuje nekonečne veľa teórií, ktoré vyhovujú všetkým údajom, akými budeme kedy disponovať. Galileo povedal, že príroda je kniha napísaná jazykom matematiky. Aj keby to bola pravda, existuje nekonečne veľa matematických funkcií, ktoré dokážu sumarizovať všetky údaje, aké by sme kedy dokázali získať.

Otázka „Aký je preklad ‚Gavagai!‘?“ má nekonečne veľa súperiacich odpovedí. Problémom je podľa Quina to, že nekonečne veľa z nich je rovnako dobrých. Quinov paradox radikálneho prekladu je protipríkladom k jeho vlastnej definícii paradoxu. Paradox radikálneho prekladu totiž ukazuje, že absurdnosť je pri paradoxe nepodstatná, a okrem toho aj to, že paradox nemusí obsahovať žiadne argumenty a závery. Otázka „Aký je preklad ‚Gavagai!‘?“ má odpovede získané prekladom, a nie závery odvodené pomocou argumentov.

Nepárny vesmír

Quine si tak ako väčšina logikov cení jednoduchosť. Nerád postuluje viac ako to, čo je potrebné na vysvetlenie údajov. Svoju voľbu zdvorilo charakterizuje ako „záľubu v púštnej krajine“. Priamočiarejší milovníci jednoduchosti však varujú, že pri postulovaní každej novej entity sa vystavujeme riziku. Minimalizovanie postulátov minimalizuje chyby. Presvedčivé je to najmä vtedy, keď sú spochybňované bezprecedentné entity. Abstraktné objekty totiž nenadväzujú na to, čo poznáme najlepšie. Učinili by sme preto zadosť bezpečnosti, keby sme sa im vyhli. A naozaj, Quine bol raz s Nelsonom Goodmanom spoluautorom obrany nominalizmu. Nominalisti odmietajú abstraktné entity – myslia si, že všetko je umiestnené v čase a priestore. Ich diéta je namierená proti takým filozofickým výstrelkom ako sú Platónove formy. Nominalizmus však napokon zakazuje aj entity, ktorými si pomáhajú sami vedci – čísla, geometrické body, množiny atď.

Takýto štípanec čoskoro pocítil aj Quine. Nadobudol presvedčenie, že množiny sú pre matematiku nepostrádateľné. Aby udržal matematiku, poľavil a prehltol množiny. Quine je pragmatik. Množiny si cestu do Quinovej metafyziky zaslúžili tým, že sú užitočné. Principia Mathematica učí, že množiny a logika stačia na rekonštruovanie celej matematiky, a tá je následne podstatná pre teoretickú fyziku. Veda a matematika stanovujú štandard pre racionalitu, takže Quine sa cíti byť oprávnený veriť čomukoľvek, čo vedci postulujú ako nepostrádateľné. Metafyzika je pre Quina dodatočným nápadom pridaným k vede.

Nelson Goodman medzitým pokračoval v brúsení noža nominalizmu, v roku 1951 publikoval Štruktúru vzhľadov. Táto kniha obsahuje logiku častí a celku. Goodman popiera existenciu množín. Namiesto nich existujú konglomeráty vytvorené z menších vecí. Na rozdiel od množiny je konglomerát umiestnený v čase a priestore. Môžete sa ho dotknúť. Ja som konglomerát. Aj vy ste konglomerát. Goodmanov „kalkul indivíduí“ tvrdí, že existuje len konečne veľa atomických indivíduí a že akákoľvek kombinácia atómov je indivíduom. Objekty nepotrebujú mať spojené všetky svoje časti, napríklad Aljaška a Havaj sú časťami Spojených štátov amerických. Goodman nedovoľuje ľudskej intuícii diktovať, čo sa považuje za objekt; a takisto si myslí, že existuje konglomerát jeho ucha a mesiaca.

V seminári, ktorý Goodman viedol na Pennsylvánskej univerzite okolo roku 1965, John Robison poukázal na to, že zo Štruktúry vzhľadov vyplýva odpoveď na otázku „Je počet indivíduí [14] vo vesmíre nepárny alebo párny?“ Keďže existuje len konečne veľa atómov a každé indivíduum je identické s kombináciou atómov, existuje presne toľko indivíduí, koľko je kombinácií atómov. Ak existuje n atómov, tak existuje 2n– 1 kombinácií indivíduí [15]. Je jedno, aké číslo n vyberieme, 2n– 1 je nepárne číslo. Z tohto dôvodu je počet indivíduí vo vesmíre nepárny!

Výkričník neuvádzam kvôli nepárnosti samej osebe. Okrem tých, čo si myslia, že vesmír je nekonečný, ľudia súhlasia s tým, že vesmír obsahuje buď nepárny počet indivíduí alebo párny počet indivíduí. Za absurdné však považujú to, že by mohol existovať dôkaz, že počet indivíduí je nepárny.

Otázka „Je počet indivíduí vo vesmíre nepárny alebo párny?“ ilustruje možnosť, že jedna dobrá odpoveď je niekedy až príliš. Očakávame, že takáto otázka je nezodpovedateľná. Osamotená dobrá odpoveď marí presvedčenia o tom, čo môžu dosiahnuť argumenty. Nadbytok je tu direktívnym úsudkom zhora nadol. (Prebytok býva častejšie nedirektívnym názorom zdola nahor: dobrá odpoveď sa bije s inou dobrou odpoveďou.

Zaujímavé čísla

K frustrácii našich meta-argumentatívnych očakávaní môže dôjsť aj tým, ako je niečo dokázané, a nielen čírym faktom, že je to dokázané. Zvážme otázku, či sú všetky prirodzené čísla zaujímavé. Keď G. H. Hardy navštívil matematického génia Ramanujana, ktorý ležal v sanatóriu a zomieral, bol v rozpakoch, čo povedať. A tak spomenul, že taxík, ktorý si najal na odvoz do sanatória, mal pomerne nevýrazné číslo 1729. „Ó, nie, Hardy. To je úchvatné číslo. Je to najmenšie číslo, ktoré možno dvomi rozličnými spôsobmi vyjadriť ako súčet dvoch tretích mocnín,“ odpovedal Ramanujan. (1729 = 1^3 + 12^3 = 10^3 + 9^3). Nombres remarguables Francoisa Le Lionnaisa ukazujú, že mnohé zdanlivo nevýrazné čísla sú zaujímavé. Prvé číslo, pre ktoré nevie nájsť žiadnu pozoruhodnú vlastnosť, je 39. Le Lionnais hĺba nad tým, že práve táto neprítomnosť pozoruhodnej vlastnosti robí číslo 39 napokon zaujímavým. Tak ako je číslo 81 zaujímavé preto, lebo je to najmenšia druhá mocnina, ktorú možno rozložiť na súčet troch druhých mocnín (9^2 = 1^2 + 4^2 + 8^2), je číslo 39 zaujímavé preto, lebo je to najmenšie nezaujímavé číslo.

Matematici zovšeobecnili Le Lionnaisov komentár na dôkaz, že všetky prirodzené čísla sú zaujímavé. Ak existuje nezaujímavé číslo, potom musí existovať aj prvé nezaujímavé číslo. Ale to, že dané číslo je ako prvé nezaujímavé, by samo bolo zaujímavou vlastnosťou. A preto sú všetky čísla zaujímavé.

Možno by každé prirodzené číslo mohlo mať nejaký prekvapujúci rys, ktorý ho robí zaujímavým. Číslo, ktoré sa zdá byť nevýrazné, sa často osvedčilo ako „úchvatné“. A tak je to možno vždy. Dokonca by mohol existovať aj nejaký fantastický dôkaz ukazujúci, že všetky zdania nevýraznosti sú iluzórne. Zdá sa však zvláštne, že by sme na základe teorémy najmenšieho čísla (ktorá hovorí, že ak má nejaké prirodzené číslo istú vlastnosť, potom existuje najmenšie číslo, ktoré má danú vlastnosť) mohli dokázať, že všetky prirodzené čísla sú zaujímavé. Tento argument sa zdá byť až príliš jednoduchý.

Zvážme nepríjemnú situáciu rozpoltených matematikov, ktorí sú nezávisle od premís presvedčení o závere tohto jednoduchého úsudku. Keďže zo záveru vyplýva každá z premís, myslia si, že tento jednoduchý úsudok je platný, a sú presvedčení o premisách aj o závere. Napriek tomu, že pripúšťajú, že úsudok je zdravý, majú problém, keďže sú presvedčení, že premisy im dávajú odôvodnenie navyše v prospech záveru.

Sú paradoxy množinami? [16]

Prinajmenšom od Epikteta mnohí filozofi tvrdili, že paradox je množina tvrdení, ktoré sú individuálne presvedčivé a napriek tomu ako celok nekonzistentné [17]. Všimnite si, že táto na množinách založená definícia paradoxu nám dáva menší počet paradoxov ako definície, ktoré identifikujú paradoxy s úsudkami alebo závermi. Množine s n prvkami bude zodpovedať n úsudkov s vlastnosťami, ktoré Quine považuje za dostatočné pre paradox. Negácia niektorého prvku množiny je totiž záverom úsudku obsahujúceho zvyšné prvky ako premisy. Keďže prvky pôvodnej množiny sú ako celok nekonzistentné, úsudok bude platný. A keďže prvky sú jednotlivo presvedčivé, publikum bude tiež považovať každú premisu úsudku za presvedčivú.

Táto prevoditeľnosť z množín na úsudky platí len vtedy, keď je množina konečná. Ak množina obsahuje nekonečne veľa tvrdení, úsudok nevedie k žiadnemu výsledku, keď je jedno tvrdenie negované a zvyšné sú použité ako premisy. Úsudok môže mať totiž len konečne veľa premís.

Úvahy spočívajúce v pozadí úsudkov typu hromada z ôsmej kapitoly ukazujú, že dokonca aj množiny s konečnou veľkosťou vytvárajú problém pre definíciu paradoxu založenú na množinách. Som presvedčený o každom z prvých 10 000 výrokov v tejto knihe, ale takisto si myslím, že sú ako celok nekonzistentné. Táto množina napriek tomu nie je skutočným paradoxom.

Nicholas Rescher vyvinul množinovo-teoretickú koncepciu paradoxu s encyklopedickou systematickosťou. Celú filozofiu balí do aktoviek riešení paradoxu.

Aby dosiahol tento jednotný cieľ, Rescher má na štruktúru paradoxov požiadavky navyše. Tvrdí, že každý prvok paradoxu musí byť sebakonzistentný. [18] Odmietnutie niektorého prvku množiny takto stačí na obnovenie konzistentnosti. Rescher bráni tento princíp sebakonzistencie zovšeobecnením, že žiadne protirečenie nie je presvedčivé.

Čo však robí presvedčivosť protirečení naliehavou, je porušenie požiadavky konzistentnosti samotným Rescherom. Uvažujme o holičovi, ktorý holí tých a len tých, čo sa neholia sami. Holí potom holič aj sám seba? Rescher formuluje množinu s nasledujúcim prvým prvkom: „Existuje – alebo môže existovať – holič, ktorý zodpovedá opisu historky.“ [19] Rescher tvrdí, že tento prvok množiny by sme mali odmietnuť: „nie je a nemôže existovať holič, ktorý zodpovedá takto stanoveným podmienkam.“ Rescher má rozhodne pravdu; je pravidlom logiky, že nič nemôže byť vo vzťahu so všetkými tými a len s tými vecami, ktoré sú vo vzťahu samy so sebou. [20] To však znamená, že „aporetický [21] zhluk“ paradoxu holiča obsahuje protirečenie (a nie iba nekonzistenciu celku, ako žiada Rescher).

Všetky priame odpovede na otázku „Holí holič aj sám seba?“ sú striktnými protirečeniami. A navyše sú tonerozdeliteľné protirečenia. Protirečenie nemožno rozdeliť na sebakonzistentné výrokové zložky takým spôsobom, akým v tvrdení „P a non P“ možno sebakonzistentné P oddeliť od sebakonzistentného non P.

Logické paradoxy sú protipríkladmi princípu, že zo samotnej logiky nikdy nevyplýva riešenie paradoxu. Keď je prvok paradoxu logickým klamom, logika diktuje, čo treba zamietnuť. Keďže odvodzovanie logickej pravdy je bez premís, nemôžeme sa vyhnúť záveru odmietnutím premisy. Tieto paradoxy môžu byť vyriešené jednotlivo bez ohľadu na širší kontext iných presvedčení. Holizmus o paradoxoch neplatí univerzálne.

Paradoxy bez premís

Na rozdiel od Reschera Quine počíta aj s možnosťou paradoxov, ktoré sa skladajú z jediného tvrdenia. Ako je zrejmé z foriem úsudku reductio ad absurdum a podmienečného dôkazu, existujú úsudky, ktoré svoje závery podporujú výlučne prostredníctvom pravidiel odvodzovania. Potreba rozlíšenia medzi pravidlami odvodzovania a premisami bola oživená dialógom publikovaným Lewisom Carrollom (1895). Achilles sa pokúša presvedčiť Korytnačku sylogizmom:

(A) Veci, ktoré sa rovnajú tomu istému, rovnajú sa aj navzájom.

(B) Tieto dve strany tohto Trojuholníka sú veci, ktoré sa rovnajú tomu istému.

(Z) Tieto dve strany tohto Trojuholníka sa navzájom rovnajú.

Prívetivá Korytnačka uzná Achillovi akúkoľvek premisu, ktorú si on želá. Trvá však na tom, aby Achilles solídne prepojil premisy so záverom prostredníctvom ďalšej premisy:

(C) Ak sú A a B pravdivé, musí byť pravdivé aj Z.

Keď Achilles pridá (C) ako dodatočnú premisu k (A) a (B), zistí, že Korytnačka ešte stále nie je ochotná uznať (Z). Korytnačka nespochybňuje premisy, ale chce záruku, že z novej množiny premís naozaj vyplýva (Z). Achilles teda pridá druhú dodatočnú premisu:

(D) Ak sú A a B a C pravdivé, musí byť pravdivé aj Z.

Korytnačka znovu uzná všetky premisy, ale trvá na záruke, že z rozšírenej množiny naozaj vyplýva daný záver. A Achilles znovu poskytne želanú premisu: „Ak sú A a B a C a D pravdivé, musí byť pravdivé aj Z.“ Achilles nikdy nedostihne vzrastajúce požiadavky Korytnačky, aby poskytoval dodatočné premisy.

Všimnime si, že mätúca je tu postupnosť argumentov a nie niektorý konkrétny argument v postupnosti. Prečo je od Korytnačky nerozumné, keď z opatrnosti žiada dodatočnú premisu, aby stmelila vzťah medzi predchádzajúcou množinou premís a záverom? Bežným riešením je poprieť, že na prepojenie premís a záveru sú potrebné akékoľvek ďalšie premisy. Namiesto toho ich prepája pravidlo odvodzovania.

Potreba rozlíšenia medzi premisami a pravidlami odvodzovania je kompatibilná s ich zameniteľnosťou. Axiómu, ktorá stanovuje, že nastáva P, možno považovať za pravidlo odvodzovania, ktoré nám dovoľuje zaviesť P do dôkazu bez akýchkoľvek premís. Carrollova hádanka ukazuje, že systém, ktorý obsahuje len axiómy, nepripúšťa žiadne dedukcie. Dôkazový systém musí obsahovať nejaké pravidlá odvodzovania. Systém však nemusí obsahovať žiadne axiómy. A naozaj, systémy prirodzených dedukcií sú praktickými alternatívami pri vyučovaní logiky.

Po formálnej stránke sú paradoxy bez premís prekvapeniami vydedukovanými z prázdnej množiny. Ak sú vydedukované platne, sú rýdzimi paradoxmi. Najoslavovanejším príkladom je Druhá veta o neúplnosti Kurta Gödela: konzistentný dôkazový systém, ktorý je dostatočne silný na to, aby vytvoril elementárnu teóriu čísel, musí byť neúplný. Teda môžu existovať antinómie bez premís: dve akceptované pravidlá odvodzovania môžu viesť k opačným záverom. (To by elegantne demonštrovalo, že aspoň jedno z akceptovaných pravidiel musí byť v skutočnosti neplatné.)

Zameniteľnosť pravidiel odvodzovania a premís ukazuje, že rozlíšenie medzi vecnou chybou a chybou v myslení je flexibilný. Rescher je iracionálny, keď tvrdí: „Paradox nie je produktom chyby v myslení, ale defektu vecnosti: nesúladu súhlasov.“ [22] Quine je rovnako iracionálny, keď hovorí, že všetky zavádzajúce paradoxy súvisia s klamnými pravidlami odvodzovania. Často je to tak, že chyba, ktorá je charakterizovaná ako mýtus (klam, ktorému sa bežne verí), môže byť rovnako dobre charakterizovaná ako klam (nelegitímne, ale bežne aplikované pravidlo odvodzovania).

Ako logik bol Quine obeťou niekoľkých paradoxov bez premís. V roku 1937 publikoval nové základy matematickej logiky. Jeho systém bol všeobecne považovaný za výhodnejší oproti predchádzajúcim systémom. Čoskoro sa však prišlo na to, že je príliš slabý – konkrétne sa v ňom nijakým spôsobom nedala odvodiť axióma nekonečna (ktorá potvrdzuje existenciu nekonečných súborov). V roku 1940 Quine tieto základy posilnil v knihe Matematická logika. Barkley Rosser [23] však dokázal, že z Quinovho doplneného systému vyplýva Burali-Fortiho paradox. To ukazovalo, že Quinova kniha obsahovala axiómy, ktoré sú ako celok nekonzistentné. Keď sú logické axiómy ako celok nekonzistentné, potom aspoň jedna z nich je protirečením. Keďže Quine vybral len presvedčivé axiómy, z prvej ruky vedel, že existujú presvedčivé protirečenia. (Pred bezradnosťou ho zachránil Hao Wang [24]. Wang rakovinovú axiómu operačne nahradil konzistentnou, ale vytrvalou alternatívou.

Gradualizmus o paradoxoch

Predtým, ako Quine spochybnil analyticko-systentické rozlíšenie, bola tendencia ponímať filozofiu ako kvalitatívne odlišnú od vied. Vedci sa zameriavajú na syntetické výroky, zatiaľ čo filozofi sa zameriavajú na analytické výroky. Vedci skúmajú skutočnosť prostredníctvom pozorovaní a experimentov. Filozofi mapujú našu pojmovú schému logickým štúdiom sémantiky.

Quine súhlasil s názorom, že filozofi sú náchylnejší použiť stratégiu sémantického vzostupu: veľmi radi zmenia tému z vecí, ktoré sú pre nás tajomné, na slová, ktoré používame pri opise týchto tajomných vecí. „Nehovorte o Pravde! Hovorte o ‚pravdivom‘!“ Táto stratégia funguje vtedy, keď slovám rozumieme lepšie ako veciam. Tak to bude aj v prípade, keď nám chýbajú štandardné postupy riešenia problémov, ktoré konštituujú každú vedu. Quine si však myslí, že použitie sémantického vzostupu je len hrubou črtou filozofie. Fyzik Albert Einstein sa zaoberal sémantickým vzostupom pri snahe rozriešiť anomálie týkajúce sa povahy simultánnosti. A metafyzici niekedy od empirických výsledkov požadujú, aby vyriešili filozofické problémy.

Quine podporoval tento naturalistický obrat vo filozofii. Zastáva názor, že filozofia sa od vedy líši skôr stupňom ako druhom. Filozofia by si mala všímať biológiu práve tak, ako si biológia všíma fyziku a naopak. Filozofia podniká ďalší krok v snahe organizovať výsledky vedy do celkovej predstavy o vesmíre. Ako sme však videli na prípade Brandona Cartera týkajúcom sa zániku ľudstva, širokú perspektívu zaujímajú aj kozmológovia.

Lord Kelvin porovnal nejasnosť metafyziky s prísnosťou fyziky tvrdením, že „Vo vede nie sú žiadne paradoxy.“ Ak ale vložíte slovo „paradox“ do vyhľadávača pre vedecké časopisy, dostanete veľa odkazov na vedecké paradoxy. Mnohé z nich už boli rozriešené. To isté sa však dá povedať aj o takých filozofických paradoxoch, aké preslávil Zenón. Filozofický pokrok má sklon byť skromný preto, lebo časom sú jeho riešenia začlenené ako výsledky do iných oblastí. „Filozofia“ je indexový pojem podobný pojmom „tu“, „včera“, „správa“. Jej význam sa posúva, aby pokryl otázky, ktoré (ešte) nemôžu byť s úžitkom zverené vedám.

Filozofia je ako expedícia na horizont. Podľa jednej interpretácie je takýto pokus beznádejný. Nemôžeme dosiahnuť cieľ cesty, pretože to, čo považujeme za horizont, sa neustále posúva. Stať sa však na základe tejto tautológie pesimistom je ako osvojiť si filozofiu tu-a-teraz na základe hesla „Zajtrajšok nikdy nenastane.“

Horizont môžeme dosiahnuť, ak význam filozofie má svoje korene. Na dejiny filozofie pochopiteľne hľadíme z výhodného bodu prítomnosti. Sme ohromení pružnosťou jej otázok a stroskotanými ambíciami minulých mysliteľov. Presné posúdenie pokroku si ale vyžaduje osvojenie dejinnej perspektívy. Tým nemám na mysli jednoducho pohľad na minulosť. Myslím tým pohľad z minulosti.

Koncepcia filozofie 21. storočia sa sama stane povzbudením pre bezduchý pesimizmus budúcich generácií. Za predpokladu, že som správne odhadol význam Carterovho argumentu konca sveta, nejaký filozof v ďalekej budúcnosti nájde túto knihu starnúť v odľahlom rohu knižnice. Pri listovaní ňou bude žasnúť nad tým, čo filozofi vtedy v roku 2003 považovali za filozofiu. Bude vedieť, že mnohé z „paradoxov“ diskutovaných v tejto knihe sú už definitívne zodpovedané fyzikou alebo matematikou (alebo nejakou doteraz nekoncipovanou oblasťou). Tento budúci čitateľ sa bude čudovať, prečo sa filozofi snažili tieto otázky zodpovedať. Keď si bude čítať túto poslednú vetu, pripomínam mu, že stojí pred novým horizontom, ktorý autorovi tejto knihy nie je dostupný.

P o z n á m k y

[1] Quine, W. V.: Philosophy of Logic. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall 1970, s. 35.

[2] Quine, W. V.: The Ways of Paradox. In: The Ways of Paradox and Other Essays. Harvard University Press, Cambridge, MA 1976. s. 1.

[3] Carter, B: Large Number Coincidences and the Anthropic Principle in Cosmology. In: Longair, M. S. (ed.): Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data.

D. Reidel Publishing Co., Dordrecht 1974.

[4] Ide o operu – komédiu v dvoch dejstvách z r. 1879, podľa ktorej bol natočený aj rovnomenný film (1983). Pozri: http://en.wikipedia.org/wiki/The_Pirates_of_Penzance, 28. 4. 2007 a tiež http://www.imdb.com/title/tt0086112, 28. 4. 2007.

[5] Úsudok je zdravý (sound), ak je platný (valid) a pritom sú jeho predpoklady pravdivé. Úvahy v tejto časti nadväzujú na 8. kapitolu knihy, ktorej preklad vyšiel v Ostiu 2/2005.

[6] Quine, W. V.: The Ways of Paradox, s. 5.

[7] Tamtiež, s. 8.

[8] Neologizmy „grue“ a „bleen“ boli do češtiny preložené ako „zeldrý“ a „molený“. Pozri GOODMAN, N.:Způsoby světatvorby. Archa, Bratislava 1996, s. 21.

[9] V anglickom texte je slovo „nonwhite“, aby však bola argumentácia zmysluplná, malo by tam byť slovo „nonravens“.

[10] V anglickom texte je uvedený výraz „quine“, ktorý sa od mena W. V. Quina líši len tým, že sa píše s malým začiatočným písmenom.

[11] CARROLL, L.: Alica v krajine zázrakov a za zrkadlom. Slovart, Bratislava 2004, s. 146-147.

[12] Quine, W. V.: Word and Object. MIT Press, Cambridge 1960.

[13] Takýto preklad je použitý v knihe NELSON, L. H. & NELSON, J.: Quine. Albert Marenčin – Vydavateľstvo PT, Bratislava 2005, s. 60.

[14] Z nasledujúceho riešenia vyplýva, že namiesto „počet indivíduí“ by tu aj ďalej malo byť uvedené „počet všetkých možných indivíduí“. Vzorec, ktorý nasleduje, totiž neudáva skutočný počet indivíduí vo vesmíre, ale počet všetkých možných konglomerátov atómov, ak je počet atómov konečný a nemenný.

[15] V origináli je opäť chyba, keď je tam uvedené 2n-1.

[16] Táto časť tiež nadväzuje na 8. kapitolu knihy (časti Paradox z úvodu a Úsudky typu hromada), ktorej preklad vyšiel v Ostiu 2/2005.

[17] Konzistentný z hľadiska logiky je taký, ktorý nie je v rozpore sám so sebou alebo nevedie k rozporu.

[18] Rescher, N.: Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Open Court, Chicago 2001, s. 8.

[19] Tamtiež, s. 144.

[20] Thomson, J. F.: On Some Paradoxes. In: Butler, R. J.: Analytical Philosophy. Barnes & Noble, New York 1962, s. 104.

[21] Prídavné meno od slova „apória“.

[22] Rescher, N.: Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution, s. 6-7.

[23] Rosser, B.: The Burali-Forti Paradox. Journal of Symbolic Logic 1942, č. 7, s. 1-17.

[24] Wang, H.: A Formal System of Logic. Journal of Symbolic Logic 1950, č. 1, s. 25-32.

Z 24. kapitoly knihy: Sorensen, Roy: A Brief History of the Paradox. Philosophy and the Labyrinths of the Mind. Oxford University Press, New York 2003, s. 349-371 (Chapter 24: Quine’s Question Mark), preložili Maroš Píša a Reginald A. Slavkovský.